Cálculo integrado

http://tecno.upc.edu/wintess/manual/Calc/CalculoIntegral.htm

Introducción

Tanto en ingeniería como en arquitectura es común encontrarnos con estructuras complejas. Entendemos por estructuras complejas aquellas que están formadas por tipos estructurales diversos: muros, barras (pilares y vigas), losas, membranas, cables, etc.

Para abordar estas estructuras, independientemente de que se haga a mano o con ayuda de programas informáticos, es habitual descomponer la estructura en subestructuras simples, es decir con un solo tipo estructural, y calcular cada una de estas subestructuras. Evidentemente habrá que empezar por aquellas que no dependen directamente de las otras, e ir aplicando las reacciones de cada subestructura como acciones de la siguiente.

Sería, por ejemplo, el caso de una cercha metálica apoyada sobre dos pilares de muros. En primer lugar analizamos la cercha metálica con cualquier método de barras articuladas y luego consideramos las reacciones obtenidas como cargas aplicadas al muro.

Este tipo de análisis facilita enormemente el proceso de cálculo, pero en algunos casos desaprovecha los efectos de las deformaciones producidas en cada fase, dando como resultado una estructura dimensionada por el lado de la seguridad, pero evidentemente menos económica de lo que podría ser.

Para ilustrar esta reflexión, vamos a realizar el cálculo de la estructura siguiente:

Estructura a analizar

Se trata de un cable de diez metros de luz, con una flecha de 50 cm que cuelga de la cabeza de dos pilares formados por tubos de acero. Sobre el cable se han colocado unas cargas de 5 kN separadas una distancia de 1 m, de forma que hay un total de 9 fuerzas aplicadas con un total de 45 kN.

Cálculo manual

En primer lugar vamos a analizar esta estructura de forma manual. Un cable de 10 m de largo y 50 cm de flecha posee una forma inicial de catenaria. Si le aplicamos 9 cargas puntuales, adoptará una forma de polígono funicular, muy parecido a una parábola. De hecho si consideráramos una carga uniformemente repartida y no tuviéramos en cuenta el peso propio del cable, la forma final sería realmente una parábola. Debemos añadir que una parábola y una catenaria de 10 m de luz y 50 cm de flecha son prácticamente iguales a simple vista.

Así pues vamos a buscar la tensión del cable suponiendo que aplicamos sobre él una carga repartida Q =  45kN/10m = 4,5 kN/m

La tensión vertical del cable en los apoyos será   Rv = 45/2 = 27,5 kN

La tensión horizontal equivale a  Rh =  Q · L² / (8 · f) = 4,5 · 100 / (8 · 0,5) = 112,5 kN

Así la tensión global del cable será  Rt = √ (Rv²+Rh²) = 115,81 kN

Para el cálculo de los pilares extremos (seguimos sin tener en cuenta los pesos propios) consideraremos un pilar capaz de soportar una carga vertical de 27,5 kN y un momento de flexión en la base   

 M = Rh · H = 112,5 · 5 = 562,5 kNm

Un dimensionado posible para estos esfuerzos, aplicando coeficientes de seguridad habituales, sería:

• Cable de acero 1x37 diámetro 20 mm
• Tubo de acero S355 Ø500.12  (diámetro 500 mm, espesor 12 mm)

Cálculo exacto del cable

Vamos, ahora, a calcular el cable con un software especial para este tipo de estructuras (WinTess), y en principio esperamos beneficiarnos de la previsible deformación del cable bajo la influencia de las cargas. Si el cable se deforma, la flecha real será superior y por lo tanto la carga a la que estará sometido el cable será inferior.

Deformación del cable

A simple vista se aprecia que la deformación de un cable de Ø20 mm, con su peso propio y las cargas antes descritas, no es despreciable. Concretamente 110,7 mm. Este aumento en la flecha provoca una tensión sobre el cable inferior a la calculada anteriormente.

Reacciones

Efectivamente, antes teníamos  115,81 kN y ahora solamente tenemos 104,72 kN. La diferencia no es aún muy grande.

Cálculo integrado cable-pilares

Vamos a dar un paso más allá en la integración del cálculo. Para ello consideraremos en el equilibrio la deformación del pilar empotrado por la parte inferior, sometido a una fuerza horizontal en la parte superior. Se trata de un cálculo en segundo orden, ya que el equilibrio se basa en una posición final desconocida.

Deformación del cable y de los pilares

Para ello deberemos desarrollar un proceso de cálculo iterativo que recalcule cada vez la tensión del cable (la luz del cable será más corta debido a la deformación del pilar) y, después, compruebe cual es el momento a que se somete el pilar y cual es la deformación del mismo.

Vemos que ahora la deformación del cable es visiblemente mayor (257,6 mm en el punto central). Ello significa que la tensión del cable será inferior y también el momento al que se somete a los pilares laterales. El programa nos indica que la tensión del cable es de 84,79 kN. Vemos que, frente a los 115,81 kN que teníamos al principio, el cálculo integrado marca la diferencia.

Con los pilares sucede lo mismo. Si de forma manual hemos calculado un momento en la base de 562,5 kNm, vemos que a través del cálculo integrado solamente tenemos 409,4 kNm. La deformación de la cabeza del pilar es de 29,6 mm.

Reacciones globales

El ahorro es del 36%, tanto para el cable como para el momento del pilar.

Efecto P-Delta

Podríamos, todavía, dar una vuelta más en el cálculo integrado. Se trataría de ver cual es la importancia de la deformación de la cabeza del pilar frente a la reacción vertical del cable. Esta deformación junto con la reacción vertical del cable, provocará un aumento en el momento de la base, con lo que volverá a aumentar la deformación de la cabeza del pilar y, otra vez, empezará un proceso iterativo de deformación del pilar y pérdida de tensión del cable.

Sin embargo, en este caso, dado que el pilar tiene una sección muy importante y una deformación muy pequeña los efectos son prácticamente nulos:

                Desplazamiento de la cabeza del pilar:  29,6 mm  à 29,7 mm
                Momento en la base:  409,4 kNm à 409,36 kNm

Reajuste del dimensionado

Si realmente hemos obtenido unos valores más pequeños en las tensiones del cable y los momentos del pilar, podemos considerar volver a dimensionar estos elementos. Siguiendo los mismos criterios que los que hemos usado anteriormente obtenemos:

• Cable de acero 1x37 diámetro 18 mm
• Tubo de acero S355 Ø470.10  (diámetro 470 mm, espesor 10 mm)

Un nuevo cálculo nos da una flecha del cable de 314 mm, una fuerza sobre el cable de 79 kN y un momento máximo sobre los pilares de 379,8 kNm.

Es decir los esfuerzos han vuelvo a bajar y todavía podríamos seguir ajustando las dimensiones del cable y de los pilares.

Conclusiones

Sobre todo en aquellas estructuras en las que las deformaciones son significativas, es muy interesante poder realizar el cálculo de forma integrada, es decir, con todos los elementos a la vez, ya que los resultados se aprovechan de la deformación de la estructura para dar unos valores claramente más pequeños.

Sin embargo, en estructuras complejas, la necesidad de disponer de una herramienta que permita analizar todos los tipos estructurales a la vez, nos obligará a disponer de un software potente que seguramente será, también, caro y difícil de dominar.

Ramon Sastre
Junio 2012