Una de las formas de pretensar una membrana es a través de una sobrepresión del aire interior. Cuando una membrana está sometida a una presión de aire y tiene una cierta curvatura, esta presión provoca en la membrana una tensión que es proporcional a la curvatura.
Así, si se trata de una membrana de forma cilíndrica, con un cierto radio de curvatura R, la tensión T provocada por la presión P interior será
en el sentido de la curvatura del cilindro, mientras que en el sentido de la directriz del cilindro la tensión es cero, ya que no hay curvatura. En el caso de una esfera (o parte de una esfera) nos encontramos con una curvatura en todas las direcciones, por lo tanto está tensión provocada por la presión interior debe descomponerse en dos direcciones ortogonales dando una tensión en la membrana
en cualquier dirección de la membrana. Cuando se trate de otra forma irregular, la tensión de la membrana producida por la presión interior dependerá del radio de curvatura de la membrana en la dirección que estudiemos. De hecho la tensión depende de este radio de curvatura R1 y del radio de curvatura R2 en la dirección ortogonal a la que estamos estudiando. Se mantiene siempre la ecuación
Es fácil ver que esta ecuación es válida también para los dos casos comentados antes. En el primero el radio de curvatura R2 de la directriz del cilindro es ∞, con lo que T2 / R2 = 0, mientras que en el segundo caso R1 = R2 y por lo tanto T1 = T2 y consecuentemente P = 2 x (T1 / R1)
Hasta aquí estamos tratando el tema de estructuras neumáticas en estado inicial. ¿Pero qué sucede cuando una estructura neumática está sometida a una acción exterior? Por ejemplo nieve o viento.
Pues que se deforma debido a estas cargas que rompen el equilibrio existente entre presión interior y tensión de la membrana.
Ahora bien, al deformarse la estructura neumática, lo más probable (lo contrario sería una casualidad) es que se modifique el volumen interior de la estructura neumática. Y aquí aparece un nuevo elemento a tener en cuenta: el cambio de la presión interior. Este cambio puede ser importante en algunos casos y determinante en otros. Por la Ley de Boyle-Mariotte sabemos que a temperatura constante el producto del volumen por la presión de un gas se mantiene constante. Como el aire es un gas, cumple con esta ley, y si se modifica el volumen interior de una estructura neumática, se modifica también la presión interior.
Al aplicar esta ley en una estructura neumática debemos tener en cuenta cual es la verdadera presión interior del aire. En general solemos definir la presión de una estructura neumática como un valor de sobrepresión. Es decir, la diferencia entre la presión interior y la presión exterior. Así cuando decimos que la presión de cierta estructura neumática es de 300 Pa (30 kg/m²) lo que queremos decir, en realidad, es que la presión interior es 300 Pa superior a la exterior. Como, en general, suponemos que la presión exterior es la presión atmosférica (aprox. 100 kPa), lo que tenemos en realidad es una presión interior de 100300 Pa. Éste es el valor que deberemos aplicar en nuestros cálculos cuando deseemos tener en cuenta el cambio de presión interior debido al cambio de volumen.
Veámoslo con un ejemplo.
En la imagen anterior vemos una estructura neumática en estado inicial, con un volumen interior de 1456 m³, y una presión interior de 300 Pa. Le aplicamos, mediante WinTess3, una carga de viento de 120 km/h y encontramos un equilibrio con una cierta deformación. Sin embargo podemos comprobar cómo el volumen interior actual ha cambiado a 1488 m³, debido a la succión del viento. Este aumento de volumen ha debido de provocar una disminución de la presión interior. Si llamamos P0 a la presión inicial, tendremos que la presión final Pf es
pero no debemos cometer el error de pensar que P0 = 300 Pa y que, por lo tanto, Pf = 293 Pa, sino que deberemos usar los valores reales: P0 = 100300 Pa y Pf = 98143 Pa. Este valor es menor que la presión atmosférica y por lo tanto la membrana se encuentra succionada hacia el interior, en lugar de ser expandida por la presión interior. ¡La estructura no está en equilibrio!
Lo mismo, pero en sentido contrario pasaría si supusiéramos una carga de nieve. Si aplicamos una carga de nieve de 40 kg/m² sobre esta misma estructura inicial, al ser esta carga mayor que la presión interior la membrana baja hasta llegar al suelo. Pero ¡cuidado! Cuando disminuye el volumen aumenta la presión interior y por lo tanto llegará un momento en que la presión interior sea capaz de soportar la carga de nieve.
Si utilizamos WinTess3 y activamos el cambio de presión interior por cambio de volumen, veremos que encontramos un equilibrio alrededor de los 1452 m³. Parece un valor muy cercano a los 1456 m³ iniciales, pero si aplicamos las ecuaciones anteriores veremos que:
y este valor supone, con respecto de la presión atmosférica exterior, una presión interior de 57,6 kg/m², capaz de soportar la carga de nieve de 40 kg/m². ¡La estructura se mantiene!
Otra reflexión, que no vamos a hacer aquí, es el tener en cuenta si la estructura dispone de un sistema de estanquidad capaz de asegurarnos que el aire interior se mantiene constante, mientras la estructura neumática se deforma. ¡Esto es otro tema!
Ramon Sastre, diciembre de 2012
Así, si se trata de una membrana de forma cilíndrica, con un cierto radio de curvatura R, la tensión T provocada por la presión P interior será
T = P x R
en el sentido de la curvatura del cilindro, mientras que en el sentido de la directriz del cilindro la tensión es cero, ya que no hay curvatura. En el caso de una esfera (o parte de una esfera) nos encontramos con una curvatura en todas las direcciones, por lo tanto está tensión provocada por la presión interior debe descomponerse en dos direcciones ortogonales dando una tensión en la membrana
T = P x R / 2
en cualquier dirección de la membrana. Cuando se trate de otra forma irregular, la tensión de la membrana producida por la presión interior dependerá del radio de curvatura de la membrana en la dirección que estudiemos. De hecho la tensión depende de este radio de curvatura R1 y del radio de curvatura R2 en la dirección ortogonal a la que estamos estudiando. Se mantiene siempre la ecuación
P = T1 / R1 + T2 / R2
Es fácil ver que esta ecuación es válida también para los dos casos comentados antes. En el primero el radio de curvatura R2 de la directriz del cilindro es ∞, con lo que T2 / R2 = 0, mientras que en el segundo caso R1 = R2 y por lo tanto T1 = T2 y consecuentemente P = 2 x (T1 / R1)
Hasta aquí estamos tratando el tema de estructuras neumáticas en estado inicial. ¿Pero qué sucede cuando una estructura neumática está sometida a una acción exterior? Por ejemplo nieve o viento.
Pues que se deforma debido a estas cargas que rompen el equilibrio existente entre presión interior y tensión de la membrana.
Ahora bien, al deformarse la estructura neumática, lo más probable (lo contrario sería una casualidad) es que se modifique el volumen interior de la estructura neumática. Y aquí aparece un nuevo elemento a tener en cuenta: el cambio de la presión interior. Este cambio puede ser importante en algunos casos y determinante en otros. Por la Ley de Boyle-Mariotte sabemos que a temperatura constante el producto del volumen por la presión de un gas se mantiene constante. Como el aire es un gas, cumple con esta ley, y si se modifica el volumen interior de una estructura neumática, se modifica también la presión interior.
Al aplicar esta ley en una estructura neumática debemos tener en cuenta cual es la verdadera presión interior del aire. En general solemos definir la presión de una estructura neumática como un valor de sobrepresión. Es decir, la diferencia entre la presión interior y la presión exterior. Así cuando decimos que la presión de cierta estructura neumática es de 300 Pa (30 kg/m²) lo que queremos decir, en realidad, es que la presión interior es 300 Pa superior a la exterior. Como, en general, suponemos que la presión exterior es la presión atmosférica (aprox. 100 kPa), lo que tenemos en realidad es una presión interior de 100300 Pa. Éste es el valor que deberemos aplicar en nuestros cálculos cuando deseemos tener en cuenta el cambio de presión interior debido al cambio de volumen.
Veámoslo con un ejemplo.
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| Estado inicial |
En la imagen anterior vemos una estructura neumática en estado inicial, con un volumen interior de 1456 m³, y una presión interior de 300 Pa. Le aplicamos, mediante WinTess3, una carga de viento de 120 km/h y encontramos un equilibrio con una cierta deformación. Sin embargo podemos comprobar cómo el volumen interior actual ha cambiado a 1488 m³, debido a la succión del viento. Este aumento de volumen ha debido de provocar una disminución de la presión interior. Si llamamos P0 a la presión inicial, tendremos que la presión final Pf es
Pf x 1488 = P0 x 1456 ; Pf = P0 x 1456 / 1488
pero no debemos cometer el error de pensar que P0 = 300 Pa y que, por lo tanto, Pf = 293 Pa, sino que deberemos usar los valores reales: P0 = 100300 Pa y Pf = 98143 Pa. Este valor es menor que la presión atmosférica y por lo tanto la membrana se encuentra succionada hacia el interior, en lugar de ser expandida por la presión interior. ¡La estructura no está en equilibrio!
Lo mismo, pero en sentido contrario pasaría si supusiéramos una carga de nieve. Si aplicamos una carga de nieve de 40 kg/m² sobre esta misma estructura inicial, al ser esta carga mayor que la presión interior la membrana baja hasta llegar al suelo. Pero ¡cuidado! Cuando disminuye el volumen aumenta la presión interior y por lo tanto llegará un momento en que la presión interior sea capaz de soportar la carga de nieve.
Si utilizamos WinTess3 y activamos el cambio de presión interior por cambio de volumen, veremos que encontramos un equilibrio alrededor de los 1452 m³. Parece un valor muy cercano a los 1456 m³ iniciales, pero si aplicamos las ecuaciones anteriores veremos que:
Pf = P0 x 1456 / 1452 = 100576 Pa
y este valor supone, con respecto de la presión atmosférica exterior, una presión interior de 57,6 kg/m², capaz de soportar la carga de nieve de 40 kg/m². ¡La estructura se mantiene!
Otra reflexión, que no vamos a hacer aquí, es el tener en cuenta si la estructura dispone de un sistema de estanquidad capaz de asegurarnos que el aire interior se mantiene constante, mientras la estructura neumática se deforma. ¡Esto es otro tema!
Ramon Sastre, diciembre de 2012
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