Cálculo no lineal

En el campo del cálculo de estructuras de edificación solemos usar el cálculo lineal. ¿Qué significa eso? Pues que los resultados (reacciones, esfuerzos, desplazamiento y deformaciones) son proporcionales a los datos (acciones).

Así, si en una viga de acero aplicamos una carga de 50 kN y obtenemos una flecha de 3 mm, no hace falta volver a calcular para saber cual será la flecha de la viga en el caso en que la carga fuera 100 kN. Será de 6 mm. Pero hay casos en que esto no sucede de esta manera. En estos casos debemos utilizar un cálculo no lineal, también llamado en segundo orden. Y las estructuras tensadas son uno de estos casos.

Existen diversos tipos de no linealidad. Vamos a comentar las cuatro más habituales.

1. No linealidad geométrica.
Cuando los desplazamientos de una estructura son muy grandes (independientemente de que también lo sean las deformaciones), el equilibrio debe buscarse en esta forma final, por lo que en cada caso de carga encontraremos una forma final diferente, y las reacciones no serán proporcionales a las acciones.

2. No linealidad mecánica: elementos.
Es posible que al producirse los desplazamientos, ciertos elementos de la estructura se vean sometidos a esfuerzos que no pueden soportar. Por ejemplo, un cable sometido a compresión. En este caso, según el tipo de carga habrá más o menos elementos resistentes activos, con lo que, otra vez, los resultados no serán proporcionales a las acciones.

3. No linealidad mecánica: materiales.
Hay materiales que tienen un comportamiento tensión-deformación no lineal. Si eso es así, está claro que el comportamiento de una estructura, formada por elementos de este tipo de material, va a ser también no lineal.

4. No linealidad mecánica: cargas.
Existen acciones (como el viento o la nieve) que dependen de la forma de la estructura. Si existen grandes desplazamientos, cambia la forma y cambian las acciones. Evidentemente los resultados son también variables y no proporcionales a las acciones.
¿Cómo calculamos estas estructuras? La forma más común es hacerlo a través de un proceso iterativo:

1. Calculamos la estructura por un método convencional.
2. Con los desplazamientos obtenidos comprobamos:
• Que no haya elementos sometidos a esfuerzos que no puedan soportar. Si existen, no los tenemos en cuenta en esta iteración.
• Comprobamos que las cargas tenidas en cuenta no hayan variado debido a la nueva geometría de la estructura.
• Calculamos los esfuerzos en los elementos estructurales, teniendo en cuenta las características mecánicas del material que forma los elementos, en función de la geometría actual de la estructura.
• Finalmente, calculamos el equilibrio de los elementos estructurales: "las acciones tienen que igualar a las reacciones".
3. Si la estructura está en equilibrio (o el desequilibrio es muy pequeño) ya hemos terminado con el cálculo. Si no es así volvemos al punto 1, cambiando las cargas iniciales por los desequilibrios actuales y la geometría inicial por la geometría actual.
4. Repetimos los pasos 1,2 y 3 hasta encontrar el equilibrio. A cada repetición la llamamos iteración.

Si el equilibrio se encuentra de forma rápida, aproximándonos a él en cada iteración, decimos que el método de cálculo es convergente, o que existe una buena convergencia. Si, por el contrario, no encontramos el equilibrio, con frecuentes acercamientos y alejamientos a él, decimos que el cálculo no converge, o que no hay convergencia. La bondad de un programa de cálculo no lineal se mide según el grado y rapidez de convergencia que consigue.

Ramon SASTRE, mayo 2012