Multi-geodésicas (1)

El método más habitual de crear patrones sobre una membrana implica el trazado de líneas geodésicas sobre dicha membrana. Queda fuera del alcance de este texto la justificación del trazado de las líneas geodésicas.

Aunque las líneas geodésicas se pueden trazar libremente, a fin de formar patrones de cualquier forma y posición, lo más habitual es que el trazado de las líneas geodésicas siga unos modelos determinados:

1. Líneas geodésicas más o menos paralelas, a fin de crear patrones de forma rectangular alargada que ocupen el máximo de la tela utilizada en la confección de la membrana.
    

   

   Patrón paralelo

2. Lineas geodésicas radiales, donde el centro o punto de encuentro coincide con una cúspide de la membrana.
    

   

   Patrón radial

En el primer caso, cómo trazar este conjunto de líneas geodésicas más o menos paralelas es algo que cada usuario suele hacer de forma particular, en función de diferentes objetivos: ahorrar material evitando desperdicios, buscando orientaciones más estéticas, etc.

WinTess permite agilizar este trazado de forma drástica usando el menú: Multi-geodésicas.
Para ello nos ofrece dos posibilidades: Trans-auxiliar y trans-geodésica. 

Se trata de dos opciones prácticamente idénticas con la salvedad de que una línea auxiliar puede ir de cualquier punto a cualquier punto, pasando por zonas donde no existe membrana, mientras que una línea geodésica siempre se encuentra encima de la membrana, lo cual no deja de ser una limitación. Como el usuario podrá comprobar a través de la práctica, cada una de estas dos opciones tienen sus ventajas y sus inconvenientes.

En primer lugar debemos fijarnos en el numero de tramos que forma la línea auxiliar o geodésica que vamos a utilizar para la función Multi-geodésica. Recordamos aquí que es el propio usuario quien escoge, en el momento de generarla, cuantos tramos va a tener dicha línea. WinTess trazará una geodésica en cada punto de la línea: al principio, al final y en cada punto intermedio donde coinciden dos tramos.

¿Cómo realiza WinTess este trazado? Tal como se ha dicho, una línea auxiliar o geodésica es en realidad una poli-línea, formada por segmentos. A cada punto interior llegan dos segmentos y existe un plano perpendicular a la tangente en este punto. La tangente es el vector suma del vector de cada segmento.  Este plano corta al perímetro de la membrana en diferentes sitios. Si lo corta en dos puntos nos encontramos con el caso más típico y más sencillo. WinTess traza una línea geodésica de un extremo a otro. Por el contrario, si el plano corta al perímetro de la membrana en más puntos el tema es más complicado. Si corta el perímetro en un número impar de puntos, no se traza ninguna geodésica, ya que no es posible saber cual es el punto sobrante. Por el contrario, si corta al perímetro en un número par de puntos, se trazan diversas geodésicas usando los puntos de corte dos a dos.

Pongamos un ejemplo. Supongamos una membrana en forma de paraboloide hiperbólico. Trazamos una línea auxiliar horizontal que une (en planta) los dos extremos opuestos más altos.

Los planos perpendiculares a la línea serán, evidentemente, planos verticales, todos paralelos entre ellos. Estos planos cortarán a la membrana en dos puntos y por lo tanto van a quedar una líneas geodésicas más o menos paralelas (es importante entender que la línea geodésica creada con estos dos puntos extremos NO TIENE porqué estar contenida en el plano, aunque casi lo esté).

Línea auxiliar horizontal

Estas líneas geodésicas, separadas en planta una distancia igual, van a producir patrones de ancho diferente, debido a la curvatura del propio paraboloide.

Vemos que el patrón 1 (que se encuentra en la parte alta inclinada) es mucho más ancho que el patrón 3 (que se encuentra en la parte central más plana).

Si repetimos el mismo ejercicio, pero en este segundo caso vamos a utilizar una línea geodésica, que se encuentra sobre la membrana, como línea generatriz.

Línea geodésica generatriz

Generamos las líneas geodésicas transversales a la geodésica 1. Obtenemos algo parecido a lo anterior.

 

Podemos ver como en ese caso los cuatro patrones tiene prácticamente el mismo ancho, ya que las distancia de los tramos coincide con la membrana, no así en el caso anterior.

Precaución

Tal como se ha comentado, el método de  multi-geodésicas usa como puntos extremos de las nuevas geodésicas los puntos encontrados en el borde de la membrana. Si la membrana que estamos analizando está formada por diferentes partes, no podemos realizar la función de multi-geodésicas directamente.

En la membrana del dibujo anterior tenemos un arco inclinado en medio y dos partes claramente diferenciadas por dicho arco. Este arco se ha generado con una línea auxiliar. Por lo tanto pudiera parecer que podríamos usar dicha línea auxiliar para generar las multi-geodésicas. Si lo hiciéramos así obtendríamos lo siguiente:

Vemos que efectivamente las líneas geodésicas van de lado a lado, pero son erróneas: ni siquiera tocan al arco superior. Pasan por debajo.

Lo que debemos hacer es descomponer la membrana en sus dos membranas simples y hallar el patronaje en cada una de ellas.

La experiencia y el uso continuado de esta nueva opción de WinTess nos irá indicando cual es la forma idónea de generar multi-geodésicas. Lo que si está claro es que, debido a la rapidez en generarlas, no cuesta mucho volver atrás y cambiar la forma de hacerlo, a fin de obtener unas geodésicas que nos den patrones más uniformes según nuestras necesidades.

Ramon Sastre

Abril 2014

Placas de vértice

Las superficies de membrana tensada necesitan de un perímetro capaz de contrarrestar la tensión de la membrana. Para ello podemos optar por diferentes posibilidades:

1. Un borde fijo. Las tensiones de la membrana van a parar a otra estructura: un edificio, el suelo,...
   

   

   Tuwaiq Palace, Riyadh, Saudi Arabia

2. Un borde rígido. Las tensiones de la membrana van a parar a un elemento que puede soportarlas. Lo más habitual es una barra rígida a modo de viga: un tubo, un viga de madera,...
   

   

   Holiday Inn in Palm Springs, Calif.
3. Un borde flexible. Las tensiones de la membrana son soportadas por un elemento flexible: un cable de borde (también llamado cable de relinga, por la similitud a una relinga de una vela). Para que el cable pueda soportar estas tensiones debe tener una curvatura. A mayor curvatura en el cable, menor tensión en el mismo. Y viceversa; los cables con poca curvatura tienen grandes tensiones.
   

   

   Eagle Point Amphitheatre

   A parte de  los elementos de borde, también podemos encontrarnos con elementos situados en medio de la membrana:

1. Crestas.
   Puntos de inflexión de la membrana, creando un diedro con la concavidad hacia abajo. El elemento resistente de la cresta puede ser un cable curvado, con la concavidad hacia arriba, una viga recta o un arco con la concavidad hacia abajo. Tanto en el caso de la viga como en el del arco, el elemento resistente debe soportar flexiones y/o compresiones (por ejemplo un tubo).
2. Valles.
   Puntos de inflexión de la membrana, creando un diedro con la concavidad hacia arriba. En general los valles suelen llevar como elemento resistente un cable curvado, con la concavidad hacia abajo. Pero, evidentemente también podría llevar una viga o un arco.
   

   

   Denver International Airport

Excepto en aquellos casos en que el perímetro de la membrana es curvado y continuo en su totalidad (por ejemplo, un conoide de planta circular), cuando dos bordes contiguos del perímetro se encuentran forman un vértice. En las velas de las embarcaciones este vértice recibe el nombre de "puño".

Partes de una vela náutica

Geométricamente el vértice es un punto, y ya sabemos que materialmente los puntos no existen en las edificaciones. Por lo tanto debemos ver como tratamos este "punto". Si los bordes que llegan a este punto son rígidos o flexibles (no borde fijo), van a necesitar trasladar y equilibrar las reacciones de los extremos del borde. En el caso de barras rígidas nos encontraremos con una reacción perpendicular al borde, mientras que en el caso de un cable de borde nos encontraremos con una reacción que tiene la misma dirección que el cable, es decir, una reacción tangencial.

Sea como sea, lo cierto es que en ese "punto" vamos a tener que soportar unas reacciones que pueden ser  importantes y, por otra parte, ajustar una serie de elementos que tienen dimensiones reales y, por lo tanto, no se pueden asimilar a un punto. La solución más habitual es colocar una placa de vértice en este punto.

Las placas de vértice pueden tener formas muy diversas, tanto por la geometría de la membrana, como por el tipo y magnitud de cargas que llegan a él, como por el propio deseo del proyectista de utilizar un diseño atractivo y no convencional. Sin embargo encontraremos unos aspectos comunes que vamos a comentar.

1. Material.
   Las placas de vértice se suelen realizar en acero. Acero inoxidable cuando el presupuesto lo permite o acero galvanizado (pintado o no) cuando no lo permite.
   

   

   acero inoxidable

2. Forma.
   La forma básica de una placa de vértice es la de sector circular. Este sector circular viene determinado por el ángulo de abertura y por el radio. A partir de esta forma básica se pueden realizar multitud de variaciones, generalmente aligerando la placa mediante huecos estratégicamente situados para no menguar la resistencia de la misma. Además de la forma superficial, estas placas tendrán un espesor adecuado para ofrecer una resistencia suficiente a las cargas.
   

   

   placa completa y ahuecada

3. Acciones y reacciones.
   Sobre la placa de vértice se anclan una serie de elementos. Unos son los que transmiten las cargas de la membrana y de los bordes y otros son los que transmiten las reacciones a los puntos de apoyo. La forma de conectarse más habitual es la siguiente:
1. Membrana. Mediante una pletina (del mismo material que la placa) que prensa la membrana con unos tornillos, y una pequeña relinga que evita que la membrana pueda escurrirse entre la placa de vértice y la pletina. Otra posibilidad más complicada es separar físicamente la membrana de la placa y unirlas con unos pequeños tensores, cables, cintas, etc. El número de estas conexiones depende del ángulo de abertura de la placa y de la fuerza transmitida.
   

   

   Auditorio Camp de Mart. Tarragona

2. Cables de borde. La forma más simple es terminal el cable de borde con un lazo cerrado y conectarlo con un grillete a un agujero en la placa de vértice. Este detalle es poco elegante y ocupa mucho espacio, por lo que se tiende a utilizar una solución más sofisticada que consiste en terminar el cable con un terminal prensado recto roscado, que se introduce en un manguito soldado lateralmente a la placa. Esta última solución permite tensar los cables de borde de forma diferenciada entre ellos y entre ellos y la placa.
   

   

   Terminal cerrado y grillete

3. Cintas de vaina. A menudo, para evitar que las vainas que contienen a los cables de borde se deslicen a lo largo del cable, se dispone de una cinta de carga unida a la membrana que recorre esta vaina y que se fija a la placa de vértice. En ese caso la solución no es tan complicada como en el caso anterior y se suele realizar mediante un terminal de anilla para la cinta y un grillete de conexión con la placa.
   

   

   Refuerzo de la vaina perimetral

4. Reacciones. La placa soporta las acciones de los bordes y de la membrana y las transmite al apoyo. Esto se hace generalmente con un solo elemento (pero podría haber más).
   a) Se puede hacer a través de un tensor en horquilla que se conecte a la placa mediante un pasador en un agujero previamente dispuesto.
   b) Por este agujero puede pasar también un grillete que conecte con cualquier otra pieza.
   c) Podemos disponer de un manguito dirigido hacia el apoyo, por donde entrará el terminal roscado de un cable que va hacia dicho apoyo. En ese caso hay que tener en cuenta donde colocar la rosca del terminal roscado.
   d) Podemos situar una pletina perpendicular a la placa (o dos) a fin de tener un giro en otro sentido.
   Las soluciones previas son muy comunes, pero evidentemente se pueden inventar muchas más.
   

   

   Diferentes tipos de anclaje de la placa
5. Cable continuo. Cuando a una placa llegan solamente dos cables iguales (o si llegan más podemos aplicar esta solución a los dos cables exteriores), en lugar de diseñar dos terminales podemos conseguir que el cable sea continuo, sin interrupción. Es una solución más económica pero nos obliga a diseñar un elemento que se adapte a la curvatura del cable. En ese caso no podremos tensar los dos cables de borde indistintamente.
   

   

   Cable continuo

Sin embargo, es muy importante que la solución de un vértice no se vuelva un caos. Por muchos elementos que lleguen a este vértice, no va a haber excusa: deberemos diseñar la placa más limpia y ordenada posible.

Este detalle es demasiado complicado ¿caótico?

Para finalizar, otros ejemplos de las infinitas posibilidades que nos dan las placas de vértice.

WinTess, con su menú Otros|Placas vértice, ofrece la posibilidad de tener una idea de cómo van a ser estas placas, dando las dimensiones principales y produciendo un DXF para que el usuario pueda manipularlas libremente y crear sus propias placas.

Menú:  Otros|Placas vértice

Ramon Sastre,  Setiembre 2013

Compensación transversal

La forma habitual de realizar el patronaje de una membrana tensada consiste en abatir en un plano unos triángulos (figura siempre plana) contiguos situados en la superficie de la membrana. Esta serie de triángulos contiguos abatidos es lo que vamos a llamar un patrón.

Triángulos sobre la membrana

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Es obvio que los triángulos vienen definidos por los lados, y éstos son segmentos rectos, mientras que la superficie de la membrana es curva (casi siempre de doble curvatura). Por lo tanto los triángulos serán siempre más pequeños que la zona de membrana que representan. El programa WinTess dispone de una herramienta para comprobar que la distancia entre el triángulo (su baricentro) y la superficie de la membrana es pequeña y, por lo tanto, el error producido es también pequeño.

Comprobación de la calidad del patronaje

Ahora bien, hay casos en que debido a una doble curvatura muy pronunciada es prácticamente imposible hacer un patrón con unos triángulos de dimensiones normales que tenga buena calidad. Es decir, que los triángulos se hallen cerca de la superficie.

Doble arco con curvatura muy pronunciada

Supongamos la membrana de la imagen anterior. Un doble arco muy pronunciado con 6 patrones, de arco a arco.

Patrón central

Vemos que el patrón central (uno de los dos) tiene un aspecto normal. Vemos también que los bordes largos forman una curva suave, por la tanto hemos de suponer que el error que pueda existir en la longitud total de estos lados va a ser pequeña. Además siempre nos quedaría la solución de crear los puntos de los bordes más próximos (más puntos) hasta que el error fuera mínimo.

Ahora bien, en el sentido transversal no podemos corregir el error a base de poner más puntos, ya que los triángulos van de lado a lado y no importa cuantos puntos haya en el interior del patrón: no se tienen en cuenta. La única forma que tenemos de dar al patrón su dimensión real (o por lo menos más aproximada) consiste en hacer el patrón más ancho, ya que en la dirección transversal tenemos una curva y no una recta.

La proporción entre la longitud de la curva real y la recta (el lado del triángulo) está en función de la curvatura. En el ejemplo que estamos tratando, la anchura de los arcos extremos es de 8 m y la altura del punto central es de 4 m. Por lo tanto la abertura del arco es de 180º =  Pi rad.

Cada patrón (hay seis) abarca 180º / 6 = 30º = Pi / 6 rad. Si hacemos los cálculos geométricos necesarios veremos que la relación entre un arco de 30º y su cuerda es de:

arco / cuerda =  0,5236 / 0,5176 = 1.0116 

Por lo tanto hay que aumentar las dimensiones transversales un valor unitario de 0.0116

0.0116 = 1.16 %

WinTes3s permite hacer esta compensación transversal de forma automática mediante la casilla correspondiente. Recordemos que podemos compensar independientemente cada patrón si la curvatura transversal es diferente en cada uno de ellos. Si deseamos compensarlos todos por igual, marcaremos primero el menú Todos y luego entraremos el valor de compensación en tanto por ciento.

Compensación transversal

Ramon Sastre
Febrero 2013